Fatoração

 Produtos notáveis

Quadrado da soma entre dois termos
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença entre dois termos.
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Cubo da soma entre dois termos.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença entre dois termos. 
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Produto da soma pela diferença. 
(a + b) * (a – b) = a² – b²

Quadrado da soma entre três termos
(a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Quadrado Perfeito

Tem duas formas de provar como resolver o quadrado da soma. 

A primeira é resolvendo algebricamente, veja como: 

(a + b)² é o mesmo que (a + b) . (a + b) 

Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular: 

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva. 


a ² + ab + ab + b ² ------ operar os termos semelhantes. 

a ² + 2ab + b ² 

Concluímos que: 

(a + b) . (a + b) = (a + b)² 

A segunda forma é geometricamente, veja como: 

Observe o quadrado de lado (a + b) e calculemos a sua área. 

                  

Da igualdade entre as áreas das figuras, temos: 
 

Concluimos que (a + b)² = a ² + 2ab + b ² 

 Obs: Para sinal negativo (-) vale:

 (a - b)² = a ² - 2ab + b ² 

Lê-se: " Quadrado do primeiro,Mais(+) ou menos(-)  duas vezes o primeiro pelo segundo, mais (+) o quadrado do segundo.

Diferença de dois quadrados

Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na metemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado. 

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando: 

- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios sejam quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo: 


• a² - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração. 
• 1 – a² 
   3 
• 4x² – y² 

Exemplo 1: 
A expressão algébrica x² – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8). 

Exemplo 2:

Dada a expressão algébrica 16x² – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. 




A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5). 
 

 Cubo Perfeito

Cubo da Soma 

Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja: 

(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b 
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 

(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3) 
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9 
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 = 
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27 

Regra Prática 

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.” 

(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27 

(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8 


Cubo da Diferença 

O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo. Observe: 

Regra prática 

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.” 

(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27 

(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8 

Diferença do cubo

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x² + xy + y², assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas. 

(x - y) (x² + xy + y²) é necessário utilizar a propriedade distributiva; 

x³ + x²y + xy² - x²y –xy² - y³ unir os termos semelhantes; 

x³ - y³ é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. 

Assim, podemos concluir que x³ - y³ é uma forma geral da soma de dois cubos onde 
x e y podem assumir qualquer valor real. 

A forma fatorada de x³ - y³ será (x - y) (x² + xy + y²). 

Veja um exemplo:

Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 8x³ – 27, devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos. 

A raiz cúbica de 8x³ é 2x e a raiz cúbica de 27 é 3. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada 
(x - y) (x² + xy + y²) , ficando assim: 

(2x – 3) ((2x)² + 2x . 3 + 3²) 

(2x – 3) (4x² + 6x + 9) 

Então, (2x – 3) (4x² + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x³ – 27. 

Quadrado da soma entre três termos

(a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Nesse caso temos a possibilidade de aplicar a seguinte regra prática:

O somatório entre,

O quadrado do 1º termo.
O quadrado do 2º termo.
O quadrado do 3º termo.
O dobro do 1º termo pelo 2º termo.
O dobro do 1º termo pelo 3º termo 
O dobro do 2º termo pelo 3º termo.